Halaman
v
2)2*$,"+
%#*"+"$2,12)#* 0 ','1#/"'/' 1 00#+ '* , 5 '12#/ )" * +2 '+#,0'/ 3'1 0'* 01'0'1 0" ,#/ ) /+-,') 0 & ,#/%'" , 5 -+#,12+" ,+.2*0#/ )-1 0'" ,#0#1'+ ,% ,
#," #% /*2'" #-/'',#1') 0" , #/+-"', +') '0#1' . 4 * "'0 (') ,
" ,(%*&, *"
5 ,%"'*#,%) .'"#,% ,& * & -$
#/'0'!-,1-&!-,1-&.#,#/ . , 1 2+ ,$ 1" * +)#&'"2. ,0#& /'& /'5 ,%" . 1+#/ ,%0 ,%)#',%',1 &2 , ," 1#,1 ,%+ 1#/'5 ,% ) ,"'.#* ( /' " .2,- */ + 1#/'+#/2. ) ,2(' 4 *.#,%#1 &2 ,2+2+ ," 1#,1 ,%+ 1#/'5 ,% ) ,"'.#* ( /'5 ,%" . 1+#,%#+ ,%) ,)#! ) . ,.#/0-, * ," ,12)+#+ ,12 ," +#+ & +'+ 1#/'.#* ( / ,& *" ,%-+,*+""'0 (') ,0#! / +#, /')" ,$ )12 *#* ','12"'0 (') ,.2* 12% 0 *#$'%!5 ,%+#/2. ) ,12% 00#"#/& , #/2. 0- *" ,)#%' 1 ,'*+' &5 ,%" . 1+#,%#+ ,%) ,)#! ) . ,0-0' *" , ) "#+') ," " .2* )#%' 1 ,!"* ' %","" , ",' & +, *5 ,%.#/*2 ," )#/( ) ,0#! / + ,"'/'+ 2.2, #/)#*-+.-)#"2 )#%' 1 ,1#/0# 21" . 1+#,2+ 2&) ,0#+ ,% 1)#4'/ 20 & ,#1-0)#/( 0#+ ,% 1',-3 0')/# 1'3'1 0" 5 0 ',%)#! ) . ,0-0' *" ," . 1+#,%#+ ,%) ,)#! ) . ,&'"2.
," '0#1' . )&'/+ 1#/'.#* ( / ,"'0 (') ,(% ' -+', *"0# % ' & ,#3 *2 0'.#+ & + , ," 1#,1 ,%+ 1#/'5 ,%1#* &"'.#* ( /'/',%) 0 ,+ 1#/'" * + #,12)' $-&'" , ,('+ )#* ','12"'0#1' . )&'/ " , )&'/0#+#01#/"'0 (') ,.%-+", *"
" ,.%-+", *" & +, * " .2,"' )&'/ 2)21#/" . 1.%-+", *" $!"*!-'+#,%2('.#+ & + , ," 0#1#* &+#+.#* ( /'+ 1#/'.#* ( / ,0#* + 0 121 &2, 1#/'.#* ( / ," * + 2)2*$,"+
%#*"+"$','(2% "'0#/1 '"#,% ,+ 1#/'.#,% 5 ,"' ,1 / ,5 ' '-)'0 (') ,2,12)+#,%',% 1+ 1#/'5 ,%1#* &"'.#* ( /'0# #*2+,5 5 ,%" . 1+#,%#+ ,%) ,)#! ) . ,.#/0-, * ," *%- ' ,!-"
#/'0'',$-/+ 0'5 ,%" . 1+#/ ,%0 ,%)#',%',1 &2 , ," 0#&',%% +#,"-/-,% ," 2,12)+#,! /'',$-/+ 0'*# '&( 2& (' ,'-',-&
#,% 5 ,5 ,% #/0'$ 1',$-/+ 1'$','"'0 (') ,0#! / '*',%2 *0#&',%% " . 1+#+.#/" * +'*+2 & 0 ,%%/'0 ," 0#&',%% " . 1+#,%#+ ,%) ,)#! ) . ,.#/0-, * ," %#!"+"$#* ( &'0') +#+ #/') ,',$-/+ 0'0#.21 /'0') 1#/+ 02)0#+ ,% 1. / 1-)-&'0') " * ++#,#+2) ,+#,!'.1 ) ,) /5 ,5 " ,1#),-*-%'" * +"2,' '0') 5 ,%" . 1+#,2+ 2&) ,0#+ ,% 1)#4'/ 20 & ,#1-0)#/( 0#/1 " . 1+#/ ,%0 ,%)#',%',1 &2 , ," *%- ' ,!-"
#/'0'',$-/+ 0'5 ,%" . 1+#/ ,%0 ,%)#',%',1 &2 , ," 0#&',%% +#,"-/-,% ," 2,12)+#,! /'',$-/+ 0'*# '&( 2&
& !+'(%
#+ & 0 ,- *
+#+ & 00- *0- *
5 ,% #/) '1 ,"#,% ,+ 1#/'5 ,% ," .#* ( /' (%-+" * +#/2. ) ,.#+ & 0 ,0- * 5 ,%"' #/') ,"#,% ,+#,%%2, ) ,0-*20'0#! / ./ )1'0" ,!#. 1 ,12)+#+ ,12 ," " * ++#,%%2, ) , 2)2*$,"+
%#*"+"$','. " %' , )&'/ 2)2','"'0 (') , ) ' "$+&-+"+"$" ,' $+ %+),!22)4+4
?i!3! %.'!.3!1#) / ,%',''*+2" ,1#),-*-%' #/)#+ ,%"#,% ,.#0 1#'/',%"#,% ,.#/)#+ ,% ,1#/0# 21'0') 0# % ' %' ," /''*+2" ,1#),-*-%'')21 #/)#+ ,%.2* ')'121#-/'+ 2.2,.#,#/ . ,,5 '0') " * &'*+2" 0 /1#),-*-%' )1 $ )1 )#&'"2. ,0#.#/1'%#/ )! & 5 -.1')) *-/" ,+ 1#/'* ',5 ,%0#& /'& /'"'%2, ) ,+ ,20' "'.#* ( /'" * +'0') *#&) /#, '12.#/*2 " ,5 .#,',%) 1 ,)2 *'1 0.#,"'"') ,'0') "'0#)-* & % /+#+ #,12)+ ,20' 5 ,%+#+'*')'" 5 , * /" ," 5 .')'/5 ,% '))/# 1'$!#/" 0" * ++#+#! &) ,+ 0 * &0#/1 + +.2+#,%-+2,') 0') ,% % 0 ,% % 0 ,,5 #,"'"') ,'0') & /20" . 1+#+ ,12 ," +#,5-,%0-,%+ 0 "#. ,"#,% ,*# '& ') 1 0" 0 /','* &) +'+#,#/ '1) , 2)2*$,"+
%#*"+"$',')#& " . , ," )&2020,5 . / 0'04 #)-* &#,#,% & 1 0
2)2','+#,%& "'/) , 0.#))-,1#)012 * %' ," "#,% ,+#,%21 + ) ,.#+#! & ,+ 0 * &0# % ' %' ," /'.#+ #* ( / ,2,12)+#+ #/') ,)#0#+. 1 ,)#. " ," +#+ ,%2,.#,%#1 &2 ," ,+#,%#+ ,%) ,.-1#,0'"'/' 1#/'" * + 2)2','"'& / .) ," . 1+#+ 4 ," 2,12)+#+.#/-*#&.#+ & + ,1#,1 ,%'*+2'0') 0# % './-0#0" ,./-"2) 1#/'.#* ( / ,'0') 5 ,%"'0 (') , #/12(2 ,+#+ #) *' ," "#,% ,.#,%#1 &2 ,.#+ & + ," ,0#(2+* &)#+ +.2 ,2,12)+#+ 02)'(#,( ,%5 ,%*# '&1',%%'0#/1 +#,%#+ ,%) ,'*+2'0') " * +)#&'"2. ,0#& /'& /'*#&) /#, '12+#,"2"2)) ,*$,"+
%#*"+"$& ,5 0# 1 01#-/'"'" * +)#* 0 ) ,+#+ 2 10'04 )2/ ,%+#+ & +',5 " ,+#,%& + 11#/! . ',5 12(2 ,.#+ #* ( / ,#* *2' 2)2*$,"+
%#*"+"$',' ," "'& / .) ," . 1+#,5#, ,%'.#* ( / ,'0') 1#/'+ 1#/' "'" * + 2)2','"'0#02 ') ,"#,% ,.#/)#+ ,% ,'*+2" ,1#),-*-%'1#/)','#* ','12 2)2','"'0 (') ,"#,% , & 0 5 ,%+2" &"'. & +'" ,)-+2,') 1'$0#&',%% 0#-* &-* & ," #/"' *-%* ,%02,%"#,% ,.#,2*'0,5 #,2*'0 , 2)2','"'& / .) ," . 1+#,( "'0 * &0 12+#"' 1 20 / , #* ( /'0') +'+#,5 " /' &4 .#,#/ '1 , 2)2','1'" ) ) ,1#/* )0 , "#,% , ')1 ,. "2)2,% ," , ,12 ," /' #/ % '.'& ) ,12)'12"#,% ,& 1'5 ,%12*20) +'2! .) ,1#/'+ ) 0'& 1 0"2)2,% ," , ,12 ,5 ,%"' #/') ,#+-% 2)2','" . 1+#+ #/')-,1/' 20' %'.#/)#+ ,% ," ,)#+ (2 ,.#,"'"') ,"',"-,#0' ) /1 #'
#,#/ '1
?ii!&3!12)Kata Sambutan iiiSekilas Isi Buku v +=+#/81+8=+; ?i %-%23%1%1!+$!,!-4!)-%.2) #/;<+7++8/;+5/8.+ /;+5#+;+,96+ /;+5 /63815+;?+6>+<3 +=/;3+,
!"1!5)3!2) >5>7 >5>7 /:6/; +A+;+?3=+<3 ?+6>+<3 +=/;3+,
!",!23)2)3!2$!.%1!+!1-/.)+
%30+=6+<=3<+2+8
/;+5 +;79835%/./;2+8+
?+6>+<3 +=/;3+, %')!3!. %-%23%1 !" '<+2+ 8/;13 +A+ ?+6>+<3 +=/;3+,
2!(!.%1')$!.!7! !"
97/8=>7.+8 7:>6< >5>7 /5/5+6+8 97/8=>7 :635+<3 97/8=>7.+8 7:>6<.+6+7 /23.>:+8%/2+;32+;3?+6>+<3 +=/;3+,
5!,4!2)!3%1) %-%23%1 /-%.34-$!.-04,2
!"
?ii3'<+2+.+8#;9</<.+6+7&/;79.38+735+
>5>7#/;=+7+&/;79.38+735+
>5>7 /.>+&/;79.38+735+ ?+6>+<3 +=/;3+, 5!,4!2)!3%1) %-%23%1 5!,4!2)!3%1)+()1 !(4.
4.#)!6!"!. 0%.$)+2 !-42)2)+! .$%+2 !&3!1 423!+!
%1-/$).!-)+! !" %/1)).%3)+!2
#/;<+7++8+< ./+6
#;38<3:5>3:+;=3<38/;13
?+6>+<3 +=/;3+,
!"6>3.+%=+=3<6>3.+38+73<
?+6>+<3 +=/;3+,
%')!3!. %-%23%1 ,4)$!
!"
%-%23%1 38/7+=35+$9=+<3
97/8+A+.+8 97/8 8/;<3+ 38+735+$9=+<3 /</=37,+81+8/8.+&/1+;
?+6>+<37+=/;3+,
%1!+ /3!2)$!.%2%3)-"!.'!.%.$! %'!1 !"
1Pernahkah Anda menjentikkan uang logam dengan jari Anda? Jika Andapernah melakukannya dan dapat mengamati bentuk lintasan yang dibentuksaat uang logam itu bergerak, Anda akan dapat melihat bahwa lintasantersebut berbentuk parabola. Bentuk lintasan uang logam yang berbentukparabola tersebut dapat difoto menggunakan stroboscope, seperti terlihat padagambar.Di Kelas X, Anda telah mempelajari gerak lurus dan gerak melingkar.Dalam materi bab ini, Anda akan mempelajari tentang gerak secara ke-seluruhan, yaitu gerak lurus, gerak parabola, dan gerak melingkar denganmenggunakan analisis vektor, perhitungan diferensial, dan integral.Setelah mempelajari materi bab ini, Anda akan memahami bahwa gerakparabola dapat dianalisis melalui perpaduan antara gerak lurus beraturan(GLB) dan gerak lurus berubah beraturan (GLBB) yang arahnya saling tegaklurus. Dapatkah Anda menyebutkan contoh-contoh gerak keseharian lainyang lintasannya berbentuk parabola?Gerak dalamDua DimensiPada bab ini, Anda akan diajak untuk dapat menganalisis gejala alam dan keteraturannyadalam cakupan mekanika benda titik dengan cara menganalisis gerak lurus, gerak melingkar,dan gerak parabola dengan menggunakan vektor.1B a b 1Sumber: www.rit.eduA.Persamaan GerakBendaB.Gerak ParabolaC.Gerak Melingkar
Praktis Belajar Fisika untuk Kelas XI2Apakah yang dimaksud dengan gerak? Banyak definisi telah dikemuka-kan oleh para ilmuwan untuk mendeskripsikan gerak. Namun, secara FisikaAnda dapat menyatakan bahwa gerak ditentukan karena adanya kelajuan,kecepatan, dan percepatan benda. Seluruh kajian tentang gerak benda yangAnda pelajari akan berhubungan dengan kedudukan benda, kecepatan,percepatan, dan waktu. Dalam membahas tentang gerak benda, seringkalibenda dimisalkan sebagai partikel atau benda titik, yaitu benda yangukurannya diabaikan dan memiliki massa tetap (konstan). Hal ini di-maksudkan untuk memudahkan dalam mempelajari gerak benda tersebut.Di Kelas X, Anda telah mempelajari tentang gerak lurus dan gerak melingkar,serta hubungan antara gaya dan percepatan. Dalam bab ini, Anda akanmempelajari materi tentang gerak dengan lebih dalam menggunakanperhitungan vektor, diferensial, dan integral.1. Vektor PosisiDi Kelas X, Anda telah mempelajari bahwa besaran dalam Fisikadigolongkan ke dalam dua kelompok, yaitu besaran skalar dan besaranvektor. Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki nilai saja,sedangkan besaran vektor adalah besaran yang memiliki nilai dan arah.Bandingkanlah kedua pernyataan berikut. Mobil Ali bergerak dengankecepatan 60 km/jam ke utara. Mobil Budi bergerak dengan kelajuan 60km/jam. Manakah dari dua pernyataan tersebut yang merupakan besaranvektor? Kecepatan memiliki besar dan arah sehingga disebut sebagai besaranvektor, sedangkan kelajuan hanya memiliki besar saja sehingga disebutsebagai besaran skalar. Apabila benda dianggap sebagai benda titik, ataupartikel, posisi benda tersebut pada suatu bidang dapat dinyatakan denganvektor posisi r, yaitu sebuah vektor yang ditarik dari titik asal sampai keposisi titik tersebut berada. Vektor posisi r suatu partikel pada bidang xydapat dinyatakan sebagai berikut.r= xi + yj(1–1)dengan (x, y) adalah koordinat partikel, sementara idan j adalah vektorsatuan yang menyatakan arah pada sumbu-x dan sumbu-y. Vektor satuanmemiliki nilai 1 satuan.Untuk lebih jelasnya, perhatikanlah Gambar 1.3 berikut.yxojA Persamaan Gerak BendaGambar 1.1Vektor satuan i pada arahsumbu-x dan vektor satuan jpada arah sumbu-y.Gambar 1.2Posisi titik A dinyatakandalam vektor posisidengan rA = xi + yj.Gambar 1.3Posisi titik A apabiladinyatakan dalam vektor posisirA=(5i + 3j) cm.i1. Apakah perbedaanantara besaran vektordan skalar?2. Sebutkanlah definisiposisi, perpindahan,kecepatan, danpercepatan.3. Jelaskanlah pengertiankecepatan sudut.PramateriSoalyxyjAor= xi + yjxiPosisi partikel A di bidang xy adalah pada x = 5 cm dan y = 3 cm, ataupada koordinat (5, 3). Vektor posisi partikel A dinyatakan sebagai berikut.rA = xAi + yA j = (5i + 3j) cm.y (cm)x (cm)5ArA4321123450
Gerak dalam Dua Dimensi32. PerpindahanPerpindahan adalah perubahan posisi (kedudukan) suatu benda dalamwaktu tertentu. Sebuah partikel berpindah dari titik P ke titik Q menurutlintasan kurva PQ, seperti pada Gambar 1.4. Apabila posisi titik P dinyatakansebagai rP dan posisi titik Q dinyatakan sebagai rQ maka perpindahan yangterjadi dari titik P ke titik Q tersebut adalah vektor Δr, yaituΔr = rQ – rP(1–2)Persamaan (1–2) jika diubah dalam kalimat dapat dinyatakan bahwaperpindahan suatu benda sama dengan posisi akhir benda dikurangi posisiawal.Bagaimanakah cara menentukan besar perpindahan yang dilakukan olehpartikel tersebut? Setiap benda membutuhkan waktu untuk berpindah ataumengubah kedudukannya. Dalam kasus perpindahan tersebut, pada saat t = t1,partikel berada di titik P dengan vektor posisinya rP. Pada saat t = t2, partikelberada di titik Q dengan vektor posisinya rQ.Kemudian, apabila rP= (xPi + yPj)dan rQ= (xQi + yQj), Persamaan (1–2)dapat dituliskan menjadi rPQ = (xQi+ yQj) – (xPi + yPj) = (xQ – xP)i + (yQ – yP)j.Apabila xQ – xP = Δx dan yQ – yP = Δy, serta perpindahan yang dilakukanpartikel rPQdinyatakan sebagai Δr, Persamaan (1–2) berubah menjadiΔr = Δxi + Δyj(1–3)Oleh karena besar perpindahan partikel Δrsama dengan panjang vektor Δrmaka dapat dituliskan |Δr| = ()()Δ+Δ22xy(1–4)Arah perpindahan partikel dapat ditentukan dari besar sudut yangdibentuk oleh vektor perpindahan Δrterhadap sumbu-x. PerhatikanlahGambar 1.5 berikut.Apabila sudut yang dibentuk oleh vektor perpindahan Δr terhadapsumbu-x adalah θ, arah perpindahan vektor Δrdinyatakan sebagaitanΔ=Δθyx(1–5)Gambar 1.4Garis putus-putus menyatakanlintasan partikel. Perpindahanposisi partikel dari posisi awaldi titik P ke posisi titik Qdinyatakan denganΔr..yxPQΔrGambar 1.5Perpindahan vektorΔΔΔΔrmenurutsumbu-x adalah sebesarΔΔΔΔx danmenurut sumbu-y sebesarΔΔΔΔy.ΔΔΔΔyΔΔΔΔrθΔΔΔΔxPQyxSebuah titik materi bergerak dari titik P (3, 2) ke titikQ (11, 8). Tuliskanlah vektorposisi titik itu ketika berada di titikP dan di titik Q. Hitunglah vektor perpindahandari titik P ke titik Q serta besar dan arah vektor perpindahan tersebut.JawabDiketahui: koordinat di titik P (3, 2) dan di titik Q (11, 8).Vektor posisi di titik P (rP) dan vektor posisi di titik Q (rQ) adalahrP= 3i + 2jrQ= 11i+ 8jVektor perpindahan dari titik P ke titik Q adalah Δr yang diperoleh sebagai berikutΔr= rQ – rP = (11i + 8j) – (3i + 2j)Δr= 8i + 6jBesar vektor Δr adalah|Δr| = 226100108+== satuanContoh1.1rPrQrPrQ
Praktis Belajar Fisika untuk Kelas XI43. Kecepatan Rata-Rata dan Kecepatan SesaatSecara matematis, kecepatan didefinisikan sebagai perubahan posisi persatuan waktu. Di Kelas X, Anda telah mempelajari tentang kecepatan yangterbagi atas kecepatan rata-rata dan kecepatan sesaat. Sekarang, Anda akanmembahas analisis mengenai kedua jenis kecepatan tersebut ditinjau dariperhitungan vektor.a. Kecepatan Rata-RataPerhatikanlah Gambar 1.6. Posisi benda di titik P pada saat t dinyatakansebagai r. Kemudian, benda tersebut berpindah selama selang waktu Δt sejauhΔr sehingga pada saat t + Δt, benda berada di titik Q dengan posisi r + Δr.Gambar 1.6Sebuah benda berpindah secaralinear dari titik P ke titik Q.y0rQrPΔΔΔΔrθx28311Arah perpindahan vektor itu adalah tanθ= yxΔΔ = 68 = 34 sehingga θ= 37°Jadi, vektor perpindahan adalah Δr= 8i + 6j, panjang perpindahannya 10 satuan,dan sudut arah perpindahannya 37° terhadap arah sumbu-x positif. Untuk lebihjelasnya, perhatikanlah gambar berikut.0t1t2ΔΔΔΔtrPQr +ΔΔΔΔrΔΔΔΔrxyBerdasarkan Persamaan (1–3) dapat dituliskan perpindahan posisi bendaadalah sebagai berikut.Δr = (r+ Δr) – rBerdasarkan definisi matematis kecepatan, dapat dituliskan()()+Δ −Δ==Δ+Δ −ttttrrrrv(1–6)dengan v atau tΔΔr disebut kecepatan rata-rata. Kecepatan rata-ratabenda dalam arah sumbu-x dan sumbu-y dapat dicari dengan caramemasukkan nilai Δrdari Persamaan (1–3) sebagai berikut.xyxtttΔ+ΔΔΔ==+ΔΔΔijijyv(1–7)
Gerak dalam Dua Dimensi5xx2x1PQtΔΔΔΔx = x2 – x1ΔΔΔΔt = t2 – t1t1t2Gambar 1.7Apabila gerak benda hanya padaarah sumbu-x maka kecepatanrata-rata benda vx adalahkemiringan garis yangmenghubungkan titik P dengantitik Q, yaitu ΔΔxt.Dari grafik tersebut dapat dilihat bahwa selama selang waktu Δt, bendaberpindah sejauh Δx. Oleh karena itu, kecepatan rata-rata benda dalam arahsumbu-x, yaitu ΔΔxt dituliskan dengan lambang xv. Apabila benda tersebutjuga berpindah menurut sumbu-y, kecepatan rata-rata benda dalam arahsumbu-y,yaitu yΔΔt dituliskan dengan lambang yv. Dengan demikian,kecepatan rata-rata sebuah benda pada bidang xy dapat dituliskan sebagaiberikut.v =tΔΔr= vxi + vyj(1–8)Besar kecepatan rata-rata benda dapat dihitung menggunakan per-samaan berikut. |v| = 22xyvv+(1–9)b. Kecepatan SesaatKecepatan sesaat suatu benda dapat diketahui dengan cara menghitungkecepatan rata-rata benda tersebut untuk selang waktu yang sangat singkatatau Δt mendekati nol. Penulisannya secara matematis adalah sebagai berikut.v = Δ→0limtv = 0limtΔ→ΔΔtr(1–10)Perhatikanlah Gambar 1.8 berikut.Perhatikanlah Gambar 1.7. Gambar tersebut menunjukkan grafikperpindahan benda dari titik P ke titik Q menurut sumbu-x.,dr dxdt dt, dan dydt disebutfungsi turunan posisi (r, x,atau y) terhadap waktu t.Rumus fungsi turunan:−=→=1nndrratnatdtcontoh:()()()−=→==441334312drrttdttPerlu AndaKetahuiGambar 1.8Grafik x terhadap t untuk selangwaktu Δt yang semakin kecil.xtPQRSt1t2t3t4ΔΔΔΔt1ΔΔΔΔt2ΔΔΔΔt3
Praktis Belajar Fisika untuk Kelas XI6Dari gambar tersebut, dapat Anda lihat bahwa kemiringan garis yangmenyatakan kecepatan rata-rata suatu benda akan semakin curam apabilaselang waktu perpindahannya semakin kecil. Oleh karena itu, kecepatansesaat dapat didefinisikan sebagai kemiringan garis tangensial pada titik P,yaitu turunan posisi terhadap waktu.Pada Gambar 1.8,kecepatan sesaatnya secara matematis dituliskansebagai berikut.v = 0limtΔ→xdxtdtΔ=Δ(1–11)Dalam kajian vektor, kecepatan sesaat benda yang bergerak menurutsumbu-x dan sumbu-y dinyatakan sebagai berikut.v =0limtddxdytdtdt dtΔ→Δ== +Δijrr(1–12)Oleh karena dxdt = vx dan dydt = vy maka Persamaan (1–12) dapat dituliskanmenjadiv = vxi+ vy j(1–13)Besarnya kecepatan sesaat atau kelajuan rata-rata benda dapat dihitungdengan menggunakan persamaan berikut. |v| = 22xyvv+(1–14)Perhatikanlah Gambar 1.9. Dari grafik kecepatan terhadap waktu bendadi titik P yang memiliki kecepatan v, arah kecepatan benda di titik tersebutterhadap sumbu-x dinyatakan dengan θ.Besar θ secara matematis, dapat diperoleh sebagai berikuttanyxvvθ=(1–15)dengan: vx= v cosθ, dan vy = v sinθ.yPxvvyvxθSebuah partikel sedang bergerak pada suatu bidang dengan sumbu koordinat xdan y. Posisi partikel berubah terhadap waktu mengikuti persamaan r = (6 + 3t)i +(8 + 4t)j dengan r dalam meter dan t dalam sekon. Tentukanlah:a.perpindahan partikel dalam selang waktu t = 0 hingga t = 2 sekon;b.besar kecepatan rata-rata partikel dalam selang waktu t = 0 hingga t = 2 sekon;c.besar dan arah kecepatan partikel pada saat t = 2 sekon.JawabDiketahui: vektor posisi partikel, yaitu r = (6 + 3t)i + (8 + 4t)j.a.t1 = 0 sekon adalah r1 = [6 + (3)(0)]i + [8 + (4)(0)]j = (6i + 8j) meter.t2 = 2 sekon adalah r2 = [6 + (3)(2)]i + [8 + (4)(2)]j = (12i + 16j) meter.Perpindahan partikel dari t1 = 0 sekon hingga t2 = 2 sekon adalahΔr = r2 – r1= (12i + 16j) – (6i + 8j) = (6i + 8j) meterBesar vektor Δr adalahΔr = |Δr| = 2268 100+== 10 m.b.Kecepatan rata-rata partikel adalah6820t+Δ===−Δijrv(3i + 4j) m/sGambar 1.9Arah percepatan v di titik Pterhadap sumbu-x positif.Contoh1.2Pada buku ini, besaranvektor ditulis dengan huruftebal dan miring,contohnya: r, v, a. Adapun,vektor satuan ditulisdengan huruf tebal dantegak, contohnya: i, j,dan k.Perlu AndaKetahui
Gerak dalam Dua Dimensi7Besar kecepatan rata-rata partikel adalah=+=v22345 m/s.c.Vektor kecepatan partikel sebagai fungsi waktu ditentukan sebagai berikut.vx = =dxddtdt(6 + 3t) = 3 m/svy= =dyddtdt(8 + 4t) = 4 m/sDengan demikian, diperoleh vektor kecepatan sesaat partikel adalahv = vxi + vyj = (3i + 4j) m/s.Besar kecepatan sesaat partikel adalah=+=v22345 m/s.Arah vektor kecepatan sesaat terhadap sumbu-x adalah θ dengantanθ = 43yxvv=θ = 53°.Tentukanlah kecepatan rata-rata benda dalam selang waktu:a.antara t = 0 sampai t = 3 s;b.antara t = 3 sampai t = 8 s; danc.antara t = 8 sampai t = 12 s.JawabDiketahui: grafik x–t dan kecepatan rata-rata xtΔ=Δiv.a.Kecepatan rata-rata benda antara t = 0 sampai t = 3 s adalah(120) m(3 0)s−=−iv = 4i m/sb.Kecepatan rata-rata benda antara t = 3 sampai t = 8 s adalah()()12 12 m83s−=−iv = 0i m/sc.Kecepatan rata-rata benda antara t = 8 sampai t = 12 s adalah()()012m12 8 s−=−iv = –3i m/sPerhatikan grafik kedudukan (x) terhadap waktu (t) berikut.Contoh1.3Galileo lahir di Pisa, Italia. Padaumur 19 tahun, ia mempelajarimatematika danmengembangkan penelitiannyatentang gerak mekanik,terutama mengenai gerak dibidang miring, gerak pendulum,dan gerak jatuh bebas. Saatmengajar di Universitas Padua,ia menjadi penyokong teoriCopernicus mengenai sistemMatahari, yang bertentangandengan teori yang diakui saatitu. Saat menerbitkan karyanya,ia disidang untuk menyangkalhasil penelitiannya, namun iatetap yakin dengan penelitiannyadan tidak mau menyerah.Setelah ia dijatuhi hukumantahanan rumah, ia meninggalpada umur 78 tahun. Walaupunbegitu, ia menyelesaikanpenelitiannya mengenai gerak.Karya tulisnya, kemudiandiselundupkan dari Italia danditerbitkan di Belanda.Sumber:www.hao.ucar.eduGalileo Galilei(1564–1642)J e l a j a hF i s i k at (s)038 12x (m)12
Praktis Belajar Fisika untuk Kelas XI8SolusiCerdas4. Menetukan Posisi dari Fungsi KecepatanFungsi posisi suatu benda, yaitu koordinat benda (x, y) dapat diperolehdengan cara mengintegralkan persamaan kecepatan benda sebagai fungsiwaktu.Dalam arah sumbu-x, fungsi posisi benda diturunkan sebagai berikut.vx = dxdt atau dx = vxdtPosisi x ditentukan dengan0xx∫dx = 0t∫vxdt⇒x – x0 = 0t∫vxdt x = x0 + 0t∫vxdtDalam arah sumbu-y, fungsi posisi benda diturunkan sebagai berikut.vy = dydt atau dy = vydtPosisi y ditentukan dengan0yy∫dy = t0∫vydt⇒y – y0 = 0t∫vydt y = y0 + 0t∫vydt(x0, y0) menyatakan koordinat posisi awal benda, sedangkan (x, y)menyatakan koordinat posisi benda setelah bergerak dalam selang waktu t.Apabila dituliskan dalam bentuk vektor, posisi benda dapat dituliskansebagai berikut r = xi + yjr = (x0 + t0∫vxdt)i + (y0 + t0∫vydt)j(1–16)atau r = r0 + dt∫v(1–17) Secara matematis, integral adalah penjumlahan yang kontinu. Dengandemikian, posisi benda dapat ditentukan dengan metode grafik sebagaiberikut. Apabila kecepatan sebuah benda dinyatakan dengan persamaanvx = 2t + 5, posisi benda adalahx = t0∫(2t + 5) dt = t0∫2t dt + t0∫5 dt = t2 + 5tt0Misalkan, batas integral adalah dari t = 0 sampai dengan t = 2. Denganmemasukkan nilai batas integral, didapatkan perpindahan benda adalahx = t2 + 5t20 = [22 + (5)(2)] – [02 + (5)(0)] = 14Cara lain untuk menentukan perpindahan benda adalah dengan meng-hitung luas daerah di bawah kurva v(t).Gambar 1.10Luas daerah yang diarsirmenyatakan besar perpindahanyang dilakukan benda dalamselang waktu t = 0 sampaidengan t = 2.x= luas daerah di bawah kurva v (t)= luas trapesium=(12)(5 + 9)(2) = 14Sebuah mobil dengan kecepatan36 km/jam direm mendadaksehingga terbentuk bekas dijalan sepanjang 20 m. Waktupengereman yang dibutuhkansampai mobil tersebut berhentiadalah ....a. 2 sd. 8 sb. 4 se. 10 sc. 6 sPenyelesaianDiketahui: v0= 36 km/jam= 10 m/sΔr = luas segitigamaka,20 = (12)(t)(10) t= 4 sJawab: dSoal SMPB 2005 Regional IIIt0∫adalah lambang integral.rumus integral:+=∫→ =+11nnaratdtrtncontoh:+=∫→ =+=33144431rtdtr ttPerlu AndaKetahuit (s)20v(m/s)95vt10
Gerak dalam Dua Dimensi9Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa besar perpindahan bendasama dengan luas di bawah kurva kecepatan sebagai fungsi waktu v(t). Secaramatematis dituliskan sebagai berikut.dtΔ=∫rv (1–18)Sebuah benda bergerak pada bidang xy. Pada posisi awal, benda berada padakoordinat (3,2) m. Komponen-komponen kecepatan benda memenuhi persamaanvx = 12 + 4t dan vy = 9 + 3t dengan vx dan vy dalam m/s, dan t dalam sekon.Tentukanlah:a.persamaan umum vektor posisi benda,b.posisi benda pada saat t = 3 sekon, danc.perpindahan benda antara t = 1 sekon dan t = 3 sekon.JawabDiketahui: posisi awal benda (3, 2) m, vx = 12 + 4t, dan vy = 9 + 3t.a.Posisi awal benda (3,2) m maka x0 = 3 m dan y0 = 2 m. Dengan demikian,diperolehr = (x0 + 0t∫vxdt)i+ (y0 + 0t∫vydt)jr = [3 + 0t∫(12 + 4t)]i + [2 + 0t∫(9 + 3t)]j r = (3 + 12t + 2t2 )i+ (2 + 9t +32t2)j.b.Posisi benda pada saat t = 3 sekon adalahx = 3 + (12)(3) + (2)(32) = 57 my = 2 + (9)(3) + (32)(32) = 42,5 mJadi, pada saat t = 3 sekon vektor posisi benda dapat dituliskan sebagair = (57i + 42,5j ) meter.c.Pada t1 = 1 sekon maka r1 = [3 + (12)(1) + (2)(12)]i+ [2 + (9)(1) + (32)(12)]j = (17i + 12,5j) meterPada t2 = 3 sekon makar2 = [3 + (12)(3) + (2)(32)]i + [2 + (9)(3) + (32)(32)]j = (57i + 42,5j) meterPerpindahan partikel dari t1 = 1 sekon hingga t2 = 3 sekon adalahΔr = r2 – r1 = (57i + 42,5j) – (17i + 12,5j) = (40i+ 30j) meterBesar vektor Δr adalah|Δr|= 2240302.500+== 50 meterContoh1.4Gambar 1.11Foto dari sebuah apel yangdijatuhkan. Gambar diambilsebanyak 60 kali setiap sekonagar percepatannya dapatdiamati. Percepatan apelditandai dengan jarak antartitikapel yang semakin besar dibagian bawah foto.Sumber: Fisika untuk Sains dan Teknik,19915. Percepatan Rata-Rata dan Percepatan SesaatPercepatan adalah perubahan kecepatan per satuan waktu. Perubahankecepatan per satuan waktu yang bernilai positif disebut percepatan, sedangkanyang bernilai negatif disebut perlambatan. Sebagaimana halnya dengankecepatan, pembahasan percepatan juga terbagi atas dua, yaitu percepatan rata-rata dan percepatan sesaat.
Praktis Belajar Fisika untuk Kelas XI10a. Percepatan Rata-RataPerhatikanlah Gambar 1.12. Grafik kecepatan terhadap waktu padagambar tersebut menyatakan gerak benda yang berpindah dengan kecepatantertentu setiap saatnya. Apabila pada saat t kecepatan benda adalah v danpada saat t +Δt kecepatannya v+ Δv, percepatan rata-rata benda tersebut ()adinyatakan sebagai berikut.()()+Δ −Δ==+Δ −Δvvvvattt t(1–19)Penulisan Persamaan (1–19) dalam bentuk vektor dalam arah sumbu-x dansumbu-y adalah sebagai berikut.+xyyxvvvvtttΔ+ΔΔΔ==ΔΔΔijija(1–20)Oleh karena Δvx= ax dan Δvy= ay, Persamaan (1–20) dapat ditulis menjadixyaa=+ija(1–21)Besar percepatan rata-rata dinyatakan sebagai |a| = +xyaa22(1–22)Arah percepatan rata-rata dapat dituliskan sebagai berikut.θ=yxaatan(1–23)b. Percepatan SesaatPercepatan sesaat merupakan kecepatan rata-rata untuk selang waktuΔt yang sangat kecil atau mendekati nol. Secara matematis, persamaannyadituliskan sebagai berikut. a = Δ→Δ→Δ==Δvvattdtdt00limlim(1–24)Apabila vektornya disesuaikan menurut arah sumbu-x dan sumbu-y,Persamaan (1–24) berubah menjadia = xdvdti+ ydvdtj = axi+ ay j(1–25)Oleh karena v= rddt maka Persamaan (1–25) dapat dituliskan sebagaiberikuta= 22 2ddd d dxdydtdt dtdtdtdt⎛⎞===+⎜⎟⎝⎠ijvrr(1–26)Sebuah partikel bergerak dengan fungsi kecepatan v(t) = 2t2 – 3t + 10 jika v dinyatakandalam m/s dan t dalam sekon, tentukanlah:a.percepatan rata-rata partikel untuk selang waktu t = 2 sekon sampai t = 4 sekon,b.percepatan awal partikel, danc.percepatan partikel pada saat t = 6 sekon.Dahulu orang percaya padagagasan Aristoteles mengenaibenda jatuh, yaitu benda yanglebih berat akan lebih dulumencapai tanah dibandingkanbenda yang lebih ringan. Melaluipercobaannya dengan mengukurwaktu tempuh bola-bola yangdigelindingkan pada suatu bidangmiring, Galileo membantahgagasan Aristoteles tersebut.Dari hasil percobaannya, Galileoberkesimpulan bahwa waktuyang dibutuhkan kedua bendajatuh untuk mencapai tanahadalah sama.Sumber: Jendela Iptek,1997Jatuh BebasGambar 1.12Grafik percepatant1t2v1v2ΔΔΔΔvΔΔΔΔtat(s)v(m/s)Contoh1.5J e l a j a hF i s i k a
Gerak dalam Dua Dimensi11Sebuah mobil bergerak dengan grafik kecepatan (v) terhadap waktu (t) seperti terlihatpada gambar disamping.Tentukanlah:a.percepatan rata-rata benda antara t = 0 sekon sampai t = 4 sekon, danb.percepatan rata-rata benda antara t = 4 sekon sampai t = 8 sekonJawabDiketahui: grafik v – t.a.Percepatan rata-rata benda antara t = 0 sampai t = 4 sekon, yaitua = ΔΔvt = −−2121vvtt = 8240−− = 1,5 m/s2.b.Percepatan rata-rata benda antara t = 4 sampai t = 8 sekon, yaitua = ΔΔvt = −−2121vvtt = 0884−−= –2 m/s2.v(m/ s)t (s)04 828Contoh1.6JawabDiketahui: v(t) = 2t2 – 3t + 10.a.Untuk menghitung percepatan rata-rata, tentukan lebih dahulu Δv dan Δtsebagai berikut.Persamaan umum kecepatan adalah v(t) = 2t2 – 3t + 10 sehinggauntuk t2 = 4 sekon, v2 = 2(4)2 – 3(4) + 10 = 30 m/suntuk t1 = 2 sekon, v1 = 2(2)2 – 3(2) + 10 = 12 m/sDiperoleha = ΔΔvt = −−vvtt2121 = −−30 1242 = 9 m/s2.b.Persamaan umum percepatan sesaat diperoleh sebagai turunan pertama darifungsi kecepatan, yaitua = dvdt = ddt (2t2 – 3t + 10) = (4t – 3) m/s2.Percepatan awal partikel adalah percepatan pada t = 0 sehinggaa = 4(0) – 3 = –3 m/s2.c.Percepatan partikel pada saat t = 6 sekon adalaha = 4(6) – 3 = 21 m/s2.6. Menentukan Kecepatan dari Fungsi PercepatanFungsi kecepatan dapat diperoleh dari fungsi percepatan dengan metodeintegral, yaituv = v0 + 0t∫a dtatauv = (vox + ∫axdt)i + (voy + ∫aydt)j(1–27)Secara matematis, integral adalah penjumlahan yang kontinu. Metodeyang digunakan untuk memeroleh nilai kecepatan dari fungsi percepatan dapatdilakukan dengan analogi pada cara untuk mendapatkan nilai perpindahandari fungsi kecepatan. Perhatikan Gambar1.13. Kecepatan partikel secara grafikdapat ditentukan sebagai berikut.Besar kecepatan = luas daerah di bawah kurva a (t)atkurva a (t)Gambar 1.13Luas daerah yang diarsirmenyatakan besar kecepatanyang dilakukan benda dalamselang waktu t.0t∫a dt = luas daerah dibawah kurva
Praktis Belajar Fisika untuk Kelas XI12SolusiCerdasSebuah benda bergerak dengan kecepatan awal 3 m/s. Jika benda mengalamipercepatan a (t) = (4t –2) m/s2, tentukanlah:a.persamaan kecepatan benda, danb.kecepatan benda pada t = 2 sekon.JawabDiketahui: vo = 3 m/s dan a(t) = (4t – 2) m/s2.a.Kecepatan dapat diperoleh dari fungsi percepatan dengan metode integral.v = v0 + ∫a dt = 3 + ∫(4t – 2) dt = (3 + 2t2 – 2t) m/s2.b.Kecepatan benda pada saat t = 2 sekon adalahv = 3 + (2)(2)2 – (2)(2) = 7 m/s.7. Gerak Lurus Beraturan dan Gerak Lurus BerubahBeraturanDi Kelas X, Anda telah mengenal dan mempelajari dua jenis gerak lurus,yaitu gerak lurus beraturan (GLB) dan gerak lurus berubah beraturan(GLBB). Pada gerak lurus beraturan, kecepatan gerak benda tetap danpercepatan benda sama dengan nol. Persamaan geraknya diperoleh melaluipersamaanv= dsdt⇒ds = vdt⇒0ss∫ds = 0tt∫vdtPada GLB, nilai v tetap dan tidak bergantung pada waktu sehinggapersamaan dapat dituliskan menjadi0ss∫ds = v0tt∫dt⇒s – s0 = vtDengan demikian, dapat dituliskan persamaans = s0 + vt(1–28)dengan s0 merupakan jarak tempuh benda pada saat t = 0.Pada gerak lurus berubah beraturan (GLBB), benda bergerak denganpercepatan tetap. Persamaan geraknya diperoleh melaluia = dvdt⇒dv = adt⇒∫t0vvdv = 0t∫adtPada GLBB, nilai a tetap dan tidak bergantung waktu sehingga persamaandapat dituliskan menjadi∫t0vvdv = a0t∫dt⇒vt – v0 = atDengan demikian, diperoleh persamaan sebagai berikut.vt = v0 + at(1–29)atau t = −t0vva(1–30)Apabila Persamaan(1–29) diintegralkan, akan diperoleh jarak tempuhbenda, yaituv(t) = dsdt⇒ds = v(t) dtContoh1.7Sebuah mobil bergerak dengangrafik kecepatan terhadapwaktu, seperti terlihat padagambar. Pada Interval waktuantara 10 sekon hingga 12sekon, mobil bergerak ....a. lurus diperlambat denganperlambatan 10 m/s2b. lurus dipercepat denganpercepatan 10 m/s2c. lurus dipercepat denganpercepatan 5 m/s2d. lurus diperlambat denganperlambatan 10 m/s2e. lurus beraturan dengankecepatan tetap sebesar10 m/sPenyelesaiant1 = 10 →v1= 20 m/st1 = 10 →v1= 20 m/sDalam selang waktu antara 10sekon hingga 12 sekona =−−=−−212102012 10vvtta = -10 m/s2Jawab: av(m/s)20t(s)0410 12
Gerak dalam Dua Dimensi13Oleh karena v(t) = v0 + at maka0ss∫ds = 0t∫v(t)dt = 0t∫(v0 + at)dt s – s0 = 0t∫v0dt + 0t∫(at)dt = v00t∫dt + a0t∫tdt s – s0 = v0t + 12at2s = s0 + v0t + 12at2(1–31)Jika s0 = 0, akan diperoleh persamaans = v0t + 12at2(1–32)Kemudian, jika Persamaan (1–30) disubstitusikan ke Persamaan (1–32)diperolehs = v0−⎛⎞⎜⎟⎝⎠t0vva + 12a−⎛⎞⎜⎟⎝⎠2t0vvas = ⎛⎞⎛⎞−−−+⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠220t0tt0021222vv vvvv vaaa2s = 2⎛⎞⎛⎞−−−+⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠220t0tt0022vv vvvv vaaa 2as = 2v0vt – 2v02 + vt2 – 2